UAS Online Matematika Kelas VII Semester Ganjil2013

UAS Online Matematika Kelas VIII Semester I 2013

Jumat, 15 Maret 2013

Soal-soal Latihan Ujian sekolah

1.  Hasil dari 3/4 ×1 2/3 +2 1/2 adalah …
        a. 2 1/4                                   c. 3 1/4                    
        b. 2 3/4                                   d. 3 3/4

2.   Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 20 orang pekerja dalam waktu 10 hari. 
      Jika pekerjaan itu ingin diselesaikan dalam waktu 8 hari, maka banyak pekerja 
       yang dibutuhkan adalah ….
       a. 15 Orang                             c. 30 Orang        
       b. 25 Orang                             d. 35 Orang

3.    Dalam suatu tes, jawaban benar diberi nilai 4, yang salah diberi nilai -2 dan 
       untuk soal yang tidak dijawab diberi nilai 0. Jika dari 25 soal, Putra menjawab 18
        soal dengan benar dan 5 soal salah, serta sisanya tidak dijawab,
       maka nilai yang diperoleh Putra adalah ….
       a.     62                                       c.    70
       b.     65                                       d.    82

4.   Bentuk sederhana dari 12/(√7- √5) adalah …
      a. 6(√7+√5)                            c. 2 (√7+√5)
      b. 6(√7-√5)                             d. 2 (√7-√5)

5.    Raesya menabung di Bank sebesar Rp 5.000.000,- dengan suku bunga tunggal yang  
      diberikan Bank 18% pertahun. Jika Raesya sudah menabung selama 8 bulan, maka
      besar uang Raesya sekarang adalah…
      a. Rp 600.000,-                      c. Rp 5.600.000,- 
      b. Rp 4.400.000,-                  d. Rp 5.800.000,-

6.   Rumus suku ke-n dari barisan geometri 1, 2, 4, 8, …. adalah …
      a. Un = 2n-1                           c. Un = 2n+1
      b. Un = 2n                              d. Un = 2n-3

7.   Diketahui barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 54 dan suku ke-6 adalah 486. 
     Jumlah 8 suku pertama barisan geometri tersebut adalah …
      a. 6560                                   c. 6650
      b. 6561                                  d. 6651

8.  Penyelesaian dari pertidaksamaan 3x≥5x-8 dengan x bilangan bulat adalah …
      a. x ≤ 3                                   c. x ≥4 
      b. x ≤ 4                                   d. x ≥5

9.   Diketahui: A = {bilangan asli kurang dari 8}, dan B = {bilangan ganjil kurang dari 12} 
      Hasil A ∩ B adalah …
      a. {1, 3, 5, 7}                         c. {1, 3, 5, 7, 9, 11}
      b. { 1, 3, 5, 7, 9}                   d. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11}

10. Fungsi f dirumuskan dengan f(x) = ax+b. Jika f(-2) = 1 dan f(4) = 13. 
      Nilai dari f(8) adalah …
      a. 11                                        c. 21
      b. 13                                        d. 25

11. Harga 1 kg apel dan 8 kg jeruk adalah Rp 101.000,-. Harga 5kg apel dan 4 kg jeruk
     adalah 144.000,- . harga 1 kg apael dan 1 kg jeruk adalah ….
       a. Rp 30.000,-                        c. Rp 32.000,- 
       b. Rp 31.000,-                       d. Rp 33.000,-

 12. Sebuah ∆PQR siku-siku di Q. panjang PQ = 8 cm dan PR = 17 cm. 
       Panjang QR adalah … cm.
        a. 9                                         c. 25
        b. 15                                       d. 68

13. Tinggi Andika 160 cm dan tinggi bayanganya 2 m. Pada saat yang sama, 
       panjang bayangan pohon 12 m. Tinggi pohon tersebut adalah …
       a. 16 m                                   c. 8 m
       b. 9,6 m                                  d. 7,5 m

14.  Kerangka kubus terbuat dari kawat, panjang rusuknya adalah 15 cm.
      Jika tersedia kawat sepanjang 9 meter. Banyak kerangka kubus yang 
      dapat dibuat adalah………..
       a. 10                                       c. 5
       b. 9                                         d. 4

15.  Limas T.ABCD alasnya berbentuk persegi, jika panjang rusuk alasnya14 cm
      dan tinggi limas 24 cm. volume limas adalah….
       a. 1.568 cm3                         c. 1.586 cm3
       b. 1.344 cm3                         d. 4.704 cm3

 16. Sebuah drum minyak yang berbentuk tabung memiliki diameter 42 cm dan
       tinggi 1 meter. Drum tersebut berisi minyak 3/5 bagian. Isi minyak yang
       terdapat didalam drum tersebut ….. liter.
        a. 55,44                                c. 110,88
        b. 83,16                               d. 138,6

17.  Luas permukaan kerucut dengan diameter 14 cm dan tinggi 24 cm adalah….
       a. 224 π                                  c. 546 π
       b. 242 π                                 d. 564 π

18.  Sebuah bola berada didalam sebuah tabung yang menyinggung sisi alas, 
       sisi atas dan sisi tegak, sehingga diameter bola sama dengan diameter dan 
       tinggi tabung. Jika luas permukaan bola adalah 616 cm2, luas permukaan tabung
       adalah …
       a. 298 cm2                              c. 616 cm2 
       b. 576 cm2                              d. 1.078 cm2

19.  Rata-rata berat badan 15 orang siswa putra 60 kg, sedangkan rata-rata berat 
      badan 6 orang siswa putrid 58 kg. Rata-rata berat badan seluruh siswa tersebut 
      adalah …..
       a. 55,5 kg                               c. 58,5 kg
       b. 57,5 kg                               d. 59,5 kg

20.  Dalam percobaan melambungkan dua buah dadu, peluang muncul dadu 
       berjumlah 7 adalah …
       a. 1/2                                     c. 1/4 
       b. 3/4                                      d. 1/6

Kamis, 14 Februari 2013

Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu.
SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN BULAT

Ingin tahu bagaimana sejarah dan teori aslinya?

Ayo kita belajar bersama!

Image
Image
Image

Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung. Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan.

Definisi 1:
Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = { …, -2, -1, 0, 1, 2, ….} dengan operasi biner penjumlahan dan perkalian.Untuk a, b, dan c sebarang bilangan bulat, berlaku sifat:

  1. Tertutup terhadap operasi penjumlahan. Ada dengan tunggal ( a + b)
  2. Tertutup terhadap operasi perkalian. Ada dengan tunggal ( a x b )
  3. Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan.a + b = b + a
  4. Sifat komutatof terhadap operasi perkalian a x b = b x a
  5. Sifat assosiatif terhadap penjumlahan ( a + b ) + c = a + ( b + c )
  6. Sifat assosiatif terhadap operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c )
  7. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan
    a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
  8. Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
    ( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )
  9. Untuk setiap a, ada tunggal elemen 0 dalam B sehingga a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut elemen identitas terhadap bilangan bulat.
  10. Untuk setiap a, ada tunggal elemen 1 dalam B sehingga a x 1 = 1 x a = a, 1 disebut elemen identitas terhadap operasi perkalian
OPERASI PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT

Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita menyelesaikan
( - a ) + ( -b ) ?

Penyelesaian:

Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan ( - a ) + ( -b ), yaitu
c = ( - a ) + ( -b ) maka
c + b = ( - a ) + ( -b ) + b
c + b = ( - a ) + ( ( -b ) + b )
c + b = ( - a ) + 0
( c + b ) + a = ( - a ) + a
( c + b ) + a = 0
c + ( b + a ) = 0
c + ( a + b ) = 0
c +( a + b ) + (- (a + b)) = - ( a +b)
c + (( a + b ) + (- (a + b) ) = - (a + b)
c + 0 = - ( a + b)
c = - ( a + b)

Karena c = ( - a ) + ( -b ) maka ( -a ) + ( - b ) = - ( a + b).
Jadi, jika a dan b bilangan bulat positif, maka ( -a ) + ( - b ) = - ( a + b).

Jika a dan b bilangan cacah dengan a < b, bagaimana menyelesaikan
a + ( - b )

Penyelesaian:

Menurut definisi pengurangan pada bilangan cacah, a + b = c, sama artinya b = c – a,
a + ( - b ) = a + ( - (c - a))
= a +( (- c ) + (- a) )
= a + (- a) + ( -c )
= 0 + ( - c )
= ( - c ) karena c = b – a
Maka a + ( - b )= ( - (b – a ))
= - ( b – a )

Jika a dan b bilangan cacah dengan b < a, bagaimana menyelesaikan
a + ( -b )


Penyelesaian:

Karena b < a maka ada sedemikian sehingga a = b + c. Menurut definisi pengurangan a = b + c , sama artinya a – b = c jika dan hanya jika

b = a - c
a + ( -b ) = b + c + ( - b )
= c + ( b + ( -b ))
= c + 0
a + ( -b ) = c , karena c = a – b
Maka a + ( -b ) = a – b]

OPERASI PENGURANGAN PADA BILANGAN BULAT

Definisi:
Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat, maka a – b = c jika dan hanya jika a = b + c.

Bilangan bulat mempunyai sifat tertutup terhadap operasi pengurangan dan inilah yang menjadikan perluasan dari system bilangan cacah ke bilangan bulat.Kita buktikan bersama bahwa operasi bilangan bulat mempunyai sifat tertutup pada operasi pengurangan.

Untuk membuktikan sifat tertutup ini kita harus membuktikan bahwa setiap pengurangan a, b bilangan bulat terdapat hanya satu bilangan bulat c.

Bukti:

Dari definisi pengurangan didapat untuk setipa a,b bilangan bulat terdapat c bilangan bulat. Jadi telah terbukti ada bilangan bulat lain.

Akan dibuktikan terdapat satu c bilangan bulat.

Andaikan ada bilangan bulat a dengan n c sedemikian sehingga

a = b + n
Karena a = b + c maka b + n = b + c.
b + (-b) + n = b + ( - b ) + c
0 + n = 0 + c
n = c

Pengandaian tidak terbukti, maka n = c,
Jadi terbukti dalam operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.


ilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu.

Sistem Bilangan

–>Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah sekumpulan bilangan imajiner dan bilangan real. Bilangan tersebut adalah:

*

Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner merupakan bilangan akar pangkat negatif. Bilangan itu adalah

Bilangan Real

Bilangan real adalah sekumpulan bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan itu adalah:

* 2 – log 5

*

Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk dengan p dan q bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik. Bilangan tersebut adalah:

*

* log 2 = 0,301029995…

* e = 2,718281828…

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

dengan p dan q bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik. Bilangan tersebut adalah:

*

*

§ Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan a bilangan bulat dan b ≠ 0.

Bilangan Bulat

Bilangan bulat di mulai dari …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat negatif di mulai dari …., -5, -4, -3, -2, -1

Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah semua bilangan asli dan nol. Bilangan tersebut adalah 0, 1, 2, 3, 4, ….

Bilangan Nol

Bilangan nol adalah nol (0) itu sendiri.

Bilangan Asli

Bilangan asli di mulai dari 1, 2, 3, 4, 5, ….

Bilangan Genap

Bilangan genap adalah bilangan cacah yang habis dibagi dua. Bilangan tersebut adalah 2, 4, 6, 8, ….

Bilangan Ganjil

Bilangan ganjil adalah bilangan cacah yang tidak genap. Bilangan tersebut adalah 1, 3, 5, 7, ….

Demikianlah macam-macam bilangan yang ada pada sistem bilangan.

Senin, 23 Juli 2012

Operasi Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari pengertian bentuk aljabar, koefisien, variabel, konstanta, suku, dan suku sejenis. Untuk mengingatkanmu kembali, pelajari contoh-contoh berikut.

1. 2pq 4. x2 + 3x –2
2. 5x + 4 5. 9x2 – 3xy + 8
3. 2x + 3y –5

Bentuk aljabar nomor (1) disebut suku tunggal atau suku satu karena hanya terdiri atas satu suku, yaitu 2pq. Pada bentuk aljabar tersebut, 2 disebut koefisien, sedangkan p dan q disebut variabel karena nilai p dan q bisa berubah-ubah. Adapun bentuk aljabar nomor (2) disebut suku dua karena bentuk aljabar ini memiliki dua suku, sebagai berikut.

  1. Suku yang memuat variabel x, koefisiennya adalah 5.
  2. Suku yang tidak memuat variabel x, yaitu 4, disebut konstanta. Konstanta adalah suku yang nilainya tidak berubah.

Sekarang, pada bentuk aljabar nomor (3), (4), dan (5), coba kamu tentukan manakah yang merupakan koefisien, variabel, konstanta, dan suku?

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.

a. Sifat Komutatif
a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil
b. Sifat Asosiatif
(a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil
c. Sifat Distributif
a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil


Agar kamu lebih memahami sifat-sifat yang berlaku pada bentuk aljabar, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal :

Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 6mn + 3mn
b. 16x + 3 + 3x + 4
c. –x – y + x – 3
d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p
e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2

Jawab:

a. 6mn + 3mn = 9mn
b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4
= 19x + 7
c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3
= –y – 3
d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p = 2p + 3p – 3p2 + 2q – 5q2
= 5p – 3p2 + 2q – 5q2
= –3p2 + 5p – 5q2 + 2q
e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 3n2 – 2m2 + 3n2
= 6m + 3m2 – 2m2 – 3n2 + 3n2
= m2 + 6m

Contoh Soal :

Tentukan hasil dari:
a. penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 dan –4x2 – 2xy + 10,
b. pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari 4p2 – 10p – 5.

Jawab:

a. 10x2 + 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10) = 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10
= 6x2 + 4xy – 2
b. (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15) = 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15
= –4p2 – 20p – 20

2. Perkalian Bentuk Aljabar

Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
Agar kamu memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal :

Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.
a. 2(x + 3) c. 3x(y + 5)
b. –5(9 – y) d. –9p(5p – 2q)

Jawab:

a. 2(x + 3) = 2x + 6 c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x
b. –5(9 – y) = –45 + 5y d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq

b. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
Agar kamu memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal :

Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan.
a. (x + 5)(x + 3) c. (2x + 4)(3x + 1)
b. (x – 4)(x + 1) d. (–3x + 2)(x – 5)

Jawab:

a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3
= x2 + 5x + 3x + 15
= x2 + 8x + 15
b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1
= x2 – 4x + x – 4
= x2 – 3x – 4
c. (2x + 4)(3x + 1) = (2x + 4)3x + (2x + 4)1
= 6x2 + 12x + 2x + 4
= 6x2 + 14x + 4
d. (–3x + 2)(x – 5) = (–3x + 2)x + (–3x + 2)(–5)
= –3x2 + 2x + 15x – 10
= –3x2 + 17x – 10

Contoh Soal :

Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar
(6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.

Jawab:

Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm
Ditanyakan : luas persegipanjang
Luas = p × l
= (5x + 3)(6x – 2)
= (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)
= 30x2 + 18x – 10x – 6
= 30x2 + 8x – 6
Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2

Amati kembali Contoh Soal. Ternyata perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b) dan (c + d) dapat ditulis sebagai berikut.
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd
= ac + ad + bc + bd
Secara skema, perkalian ditulis:

http://www.crayonpedia.org/wiki/images/8/88/Rumus_aljabar_1.jpg

Cara seperti ini merupakan cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian antara dua buah suku bentuk aljabar. Pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal :

Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema.
a. (x + 1)(x + 2) c. (x – 2)(x + 5)
b. (x + 8)(2x + 4) d. (3x + 4)(x – 8)

Jawab:

a. (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + x + 2
= x2 + 3x + 2
b. (x + 8)(2x + 4) = 2x2 + 4x + 16x + 32
= 2x2 + 20x + 32
c. (x – 2)(x + 5) = x2 + 5x –2x –10
= x2 + 3x – 10
d. (3x + 4)(x –8) = 3x2 – 24x + 4x – 32
= 3x2 – 20x – 32

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan. Pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal :

Tentukan hasil pembagian berikut.
a. 8x : 4 c. 16a2b : 2ab
b. 15pq : 3p d. (8x2 + 2x) : (2y2 – 2y)
Jawab:

Image:jawab  aljabar 1.jpg

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari definisi bilangan berpangkat. Pada bagian ini materi tersebut akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kamu ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

http://www.crayonpedia.org/wiki/images/c/cc/Rumus_aljabar_2.jpg

Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli.

Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

a. a5 = a × a × a × a × a
b. (2a)3 = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a3
c. (–3p)4 = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)
= ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p4
d. (4x2y)2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x2 × x2) × (y × y) = 16x4y2

Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)2? Bentuk (a + b)2 merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)2 dapat ditulis:

(a + b)2 = (a + b) (a + b)
= (a + b)a + (a + b)b
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2

Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)2 juga dapat ditulis sebagai:

(a – b)2 = (a – b) (a – b)
= (a – b)a + (a – b)(–b)
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2

Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)3, sebagai berikut.

(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
= a(a2 + 2ab + b2 ) + b (a2 + 2ab + b2 ) (menggunakan cara skema)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 (suku yang sejenis dikelompokkan)
= a3 + 2a2b + a2b + ab2 +2ab2 + b3 (operasikan suku-suku yang sejenis)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Untuk menguraikan bentuk aljabar (a + b)2, (a + b)3, dan (a + b)4, kamu dapat menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar (a + b)5, (a + b)6, (a + b)7, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.

http://www.crayonpedia.org/wiki/images/0/00/Pascal2.jpg

Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)2 dapat diuraikan menjadi a2 + 2ab + b2. Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)2 mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a2 + 2ab + b2. Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a2 kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b kemudian b2). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)3, (a + b)4, (a + b)5, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
dan seterusnya.

Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
(a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5

Minggu, 22 Januari 2012

Geometri Dimensi Tiga

A. Kubus (Hilisaeder)

Kubus adalah suatu benda yang buat oleh enam bidang datar yang masing-masing berbentuk persegi panjang yang sama dan sebangun (kongruen) Keenam bidang kubus disebut bidang batas, bidang sisi, atau sisi kubus.
Rumus Euler

Hubungan sisi, rusuk, dan titik sudut suatu bangun ruang dirumuskan oleh euler dalam bentuk :
S + T = R + 2
Dengan : S = Banyak sisi
T = Banyak titik sudut
R = Banyak rusuk


Contoh :
Suatu bangun ruang dibentuk dari lima sisi dengan enam titik sudutnya, tentukan banyak rusuk bangun ruang itu?
Jawab :
Sisi :S = 5
Titik sudut : T = 6
Berdasrkan rumus euler : S + T = R + 2
5 + 6 = R + 2
11= R + 2
R= 9


Simetri pada Kubus
Bidang simetri kubus adalah bidang yang membagi kubus menjadi dua bagian yang sama besar, dengan bagian yang satu merupakan cermin bagian yang lain. Sumbu simetri putar adalah sumbu yang apabila kibus diputar pada sumbu tersebut maka kubus akan kembali menempati posisinya semula.


Luas Permukaan dan volume kubus:

Bila panjang rusuk kubus adalah a, maka :

Luas Permukaan = 6 x a

Volume = a x a x a

Contoh :
Volume sebuah kubus 27 liter, tentukanlah :
a. Luas Bidang diagonal kubus
b. Luas permukaan kubus



B. Balok (Peralelepipedum siku-siku)

Luas permukaan dan Volume Balok
Jika balok dengan ukuran panjang = p, lebar = l, dan tinggi = t, maka :
• Volume balok = p x l.x t
• Luas permukaan balok = 2(pl + pt + lt)
• Luas balok tanpa tutup = p + 2( t + pt)



C. Prisma
Prisma adalah suatu benda yang dibatasi oleh dua buah bidang yang yang sejajar dan oleh beberapa bidang yang memotong menurut garis-garis sejajar.
Sifat-sifat prisma Tegak :
o Semua bidang sisi tegaknya berbentuk persegi panjang
o Bidang alas dan bidang atasnya adalah sama dan sebangun
o Panjang semua rusuk tegaknya adalah sama
o Banyak diagonal ruang yang terdapat dalam prisma segi-n adalah buah.
o Semua bidang diagonal berbentuk jajaran genjang
o Banyak bidang diagonal yang terdapat dalam prisma segi-n adalah buah.
o Prisma segi-n mempunyai (n + 2) sisi
o Prisma segi-n mempunyai (3n) rusuk.

Contoh :
Diketahui suatu prisma tegak dengan alas segi enam dan tidak beraturan titik-titik :
a. Banyak diagonal ruangnya
b. Banyak bidang diagonalnya
c. Bangun/bentuk bidang diagonalnya
d. Banyak sisi
e. Banyak rusuk



D. Limas
Limas adalah suatu benda yang dibatasi oleh suatu segi dan beberapa segitiga dengan suatu titik diluar segi banyak sebagai titik sudut puncak persekutuan dan sisi-sisi segi banyak rusuk alas limas. Luas segi-n mempunyai n sisi tegak, 1 sisi alas dan 2n sisi tegak.
Luas Permukaan dan Volume Limas
Luas permukaan limas = Luas alas + Luas selimut
Volume Limas = Luas alas x tinggi


Contoh :
Bila tinggi limas 12 cm dan panjang rusuk alasnya 10 cm. seperti pada gambar, ditanya :
a. Luas permukaan Limas
b. Volume Limas


E. Tabung, Kerucut dan Bola
Tabung merupakan prisma tegak yang alasnya berupa lingkaran
Kerucut merupakan limas yang alasnya berbentuk lingkaran
Bola merupakan bangunan ruangan tiap titik pada permukaannya, mempunyai jarak yang sama terhadap titik pusatnya.


Contoh :
1. Diketahui sebuah tabung dengan jari-jari alasnya 10 cm dan tingginya 25 cm. tentukan luas permukaan tabung dan volumenya?
2. Hitunglah berat kawat (dalam kg) yang panjangnya 1 km dan jari-jari penampangnya 1,4 mm. apabila 1cm kawat beratnya 8,5 gram?

MELUKIS BANGUN RUANG.
Proyeksi
Proyeksi merupakan cara untuk melukis suatu bangun datar (dua dimensi) atau bangun ruang (tiga dimensi) pada bidang datar dengan cara menjatuhkan setiap titik pada bangun atau bentuk kebidang proyeksi.

Kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang.
Pengertian dasar unsur-unsur dalam Ruang
- Titik
Titik tidak mempunyai ukuran dan sering disebut benda berdimensi nol
- Garis (garis lurus)
Sebuah garis panjang tak hingga, karena itu gambar sebuah garis biasanya dilukiskan dengan wakil dari garis itu.
- Bidang
Bidang yang dimaksud disini adalah bidang datar dan dapat dijumpai sebagai permukaan atau sisi dari benda luar.


Jarak Dalam Ruang
Jarak adalah panjang garis hubung terpendek antara dua unsure ruang, yaitu titik, garis, dan bidang.
- Jarak antar dua buah titik
Adalah panjang garis yang menghubungkan ke dua titik itu.
- Jarak titik ke bidang
Proyeksi sebuah titik kebidang adalah titik potong garis yang melalui titiktersebut dengan bidang dimana garis itu tegak lurus terhadap bidangnya. Jarak titik terhadap bidang sama dengan panjang garis yang menghubungkan titik dengan proyeksi pada bidang.


Sudut Dalam Ruang
- Sudut antara dua bidang
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis, masing-masing satupada setiap bidang, dimana kedua garis tersebut tegak lurus pada garis potong ke dua bidang dan berpotongan pada satu titik digaris potong ke dua bidang tersebut, sudut ini disebut tumpuan.
- Sudut antar garis dan Bidang
Sudut antar garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis pada bidang.
- Garis tegak lurus bidang
Jika sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang sama dengan 90 maka garis tersebut dikatakan tegak lurus bidang.

Soal - soal

1. Jika volume kubus 27 cm , panjang diagonalnya sisi kubus adalah …


2. Perhatikan gambar kubus ABCD, EFGH dibawah. Titik p merupakan titik potong diagonal bidang atas, jarak antara titik B dengan titik P adalah…

3. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 4 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 3 cm, jarak antara BE dengan bidang CDHG adalah….


4. Hitunglah jari-jari bola yang mempunyai luas permukaan 6,6 cm .


5. Hitunglah luas permukaansebuah bola yang bervolume 36 cm .


6. Belahan bola padat mempunyai diameter 20 cm. hitunglah luas permukaan belahan bola padat tersebut.


7. Sebuah lilin lunak berbentuk limas mempunyai volume 792 cm . apabila lilin tersebut dirubah bentuknya menjadi sebuah kerucut dengan tinggi 21 cm. hitunglah jari-jari alas kerucut tersebut

8. Sebuah balok yang kerangkanya terbuat dari kawat, berukuran 25 cm x 10 cm x 7 cm. berapakah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka balok itu?


9. Volume sebuah kubus 27 liter, tentukan :
a. Luas Bidang kubus
b. Luas permukaan Kubus


10. Suatu bangun ruang dibentuk dari limas sisi dengan enam titik sudutnya. Tentukan banyak rusuk bangun ruang itu.