Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu.

SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN BULAT

Ingin tahu bagaimana sejarah dan teori aslinya?

Ayo kita belajar bersama!

Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung. Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan.

Definisi 1:
Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = { …, -2, -1, 0, 1, 2, ….} dengan operasi biner penjumlahan dan perkalian.Untuk a, b, dan c sebarang bilangan bulat, berlaku sifat:

1. Tertutup terhadap operasi penjumlahan. Ada dengan tunggal ( a + b)
2. Tertutup terhadap operasi perkalian. Ada dengan tunggal ( a x b )
3. Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan.a + b = b + a
4. Sifat komutatof terhadap operasi perkalian a x b = b x a
5. Sifat assosiatif terhadap penjumlahan ( a + b ) + c = a + ( b + c )
6. Sifat assosiatif terhadap operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c )
7. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan
   a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
8. Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
   ( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )
9. Untuk setiap a, ada tunggal elemen 0 dalam B sehingga a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut elemen identitas terhadap bilangan bulat.
10. Untuk setiap a, ada tunggal elemen 1 dalam B sehingga a x 1 = 1 x a = a, 1 disebut elemen identitas terhadap operasi perkalian

OPERASI PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT

Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita menyelesaikan
( - a ) + ( -b ) ?

Penyelesaian:

Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan ( - a ) + ( -b ), yaitu
c = ( - a ) + ( -b ) maka
c + b = ( - a ) + ( -b ) + b
c + b = ( - a ) + ( ( -b ) + b )
c + b = ( - a ) + 0
( c + b ) + a = ( - a ) + a
( c + b ) + a = 0
c + ( b + a ) = 0
c + ( a + b ) = 0
c +( a + b ) + (- (a + b)) = - ( a +b)
c + (( a + b ) + (- (a + b) ) = - (a + b)
c + 0 = - ( a + b)
c = - ( a + b)

Karena c = ( - a ) + ( -b ) maka ( -a ) + ( - b ) = - ( a + b).
Jadi, jika a dan b bilangan bulat positif, maka ( -a ) + ( - b ) = - ( a + b).

Jika a dan b bilangan cacah dengan a < b, bagaimana menyelesaikan
a + ( - b )

Penyelesaian:

Menurut definisi pengurangan pada bilangan cacah, a + b = c, sama artinya b = c – a,
a + ( - b ) = a + ( - (c - a))
= a +( (- c ) + (- a) )
= a + (- a) + ( -c )
= 0 + ( - c )
= ( - c ) karena c = b – a
Maka a + ( - b )= ( - (b – a ))
= - ( b – a )

Jika a dan b bilangan cacah dengan b < a, bagaimana menyelesaikan
a + ( -b )

Penyelesaian:

Karena b < a maka ada sedemikian sehingga a = b + c. Menurut definisi pengurangan a = b + c , sama artinya a – b = c jika dan hanya jika

b = a - c
a + ( -b ) = b + c + ( - b )
= c + ( b + ( -b ))
= c + 0
a + ( -b ) = c , karena c = a – b
Maka a + ( -b ) = a – b]

OPERASI PENGURANGAN PADA BILANGAN BULAT

Definisi:
Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat, maka a – b = c jika dan hanya jika a = b + c.

Bilangan bulat mempunyai sifat tertutup terhadap operasi pengurangan dan inilah yang menjadikan perluasan dari system bilangan cacah ke bilangan bulat.Kita buktikan bersama bahwa operasi bilangan bulat mempunyai sifat tertutup pada operasi pengurangan.

Untuk membuktikan sifat tertutup ini kita harus membuktikan bahwa setiap pengurangan a, b bilangan bulat terdapat hanya satu bilangan bulat c.

Bukti:

Dari definisi pengurangan didapat untuk setipa a,b bilangan bulat terdapat c bilangan bulat. Jadi telah terbukti ada bilangan bulat lain.

Akan dibuktikan terdapat satu c bilangan bulat.

Andaikan ada bilangan bulat a dengan n c sedemikian sehingga

a = b + n
Karena a = b + c maka b + n = b + c.
b + (-b) + n = b + ( - b ) + c
0 + n = 0 + c
n = c

Pengandaian tidak terbukti, maka n = c,
Jadi terbukti dalam operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

ilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu.

Sistem Bilangan

–>Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah sekumpulan bilangan imajiner dan bilangan real. Bilangan tersebut adalah:

*

Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner merupakan bilangan akar pangkat negatif. Bilangan itu adalah

Bilangan Real

Bilangan real adalah sekumpulan bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan itu adalah:

* 2 – log 5

*

Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk dengan p dan q bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik. Bilangan tersebut adalah:

*

* log 2 = 0,301029995…

* e = 2,718281828…

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

dengan p dan q bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik. Bilangan tersebut adalah:

*

*

§ Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan a bilangan bulat dan b ≠ 0.

Bilangan Bulat

Bilangan bulat di mulai dari …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat negatif di mulai dari …., -5, -4, -3, -2, -1

Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah semua bilangan asli dan nol. Bilangan tersebut adalah 0, 1, 2, 3, 4, ….

Bilangan Nol

Bilangan nol adalah nol (0) itu sendiri.

Bilangan Asli

Bilangan asli di mulai dari 1, 2, 3, 4, 5, ….

Bilangan Genap

Bilangan genap adalah bilangan cacah yang habis dibagi dua. Bilangan tersebut adalah 2, 4, 6, 8, ….

Bilangan Ganjil

Bilangan ganjil adalah bilangan cacah yang tidak genap. Bilangan tersebut adalah 1, 3, 5, 7, ….

Demikianlah macam-macam bilangan yang ada pada sistem bilangan.