Operasi Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari pengertian bentuk aljabar, koefisien, variabel, konstanta, suku, dan suku sejenis. Untuk mengingatkanmu kembali, pelajari contoh-contoh berikut.

1. 2pq 4. x² + 3x –2
2. 5x + 4 5. 9x² – 3xy + 8
3. 2x + 3y –5

Bentuk aljabar nomor (1) disebut suku tunggal atau suku satu karena hanya terdiri atas satu suku, yaitu 2pq. Pada bentuk aljabar tersebut, 2 disebut koefisien, sedangkan p dan q disebut variabel karena nilai p dan q bisa berubah-ubah. Adapun bentuk aljabar nomor (2) disebut suku dua karena bentuk aljabar ini memiliki dua suku, sebagai berikut.

1. Suku yang memuat variabel x, koefisiennya adalah 5.
2. Suku yang tidak memuat variabel x, yaitu 4, disebut konstanta. Konstanta adalah suku yang nilainya tidak berubah.

Sekarang, pada bentuk aljabar nomor (3), (4), dan (5), coba kamu tentukan manakah yang merupakan koefisien, variabel, konstanta, dan suku?

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.

a. Sifat Komutatif
a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil
b. Sifat Asosiatif
(a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil
c. Sifat Distributif
a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil

Agar kamu lebih memahami sifat-sifat yang berlaku pada bentuk aljabar, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal :

Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 6mn + 3mn
b. 16x + 3 + 3x + 4
c. –x – y + x – 3
d. 2p – 3p² + 2q – 5q² + 3p
e. 6m + 3(m² – n²) – 2m² + 3n²

Jawab:

a. 6mn + 3mn = 9mn
b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4
= 19x + 7
c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3
= –y – 3
d. 2p – 3p² + 2q – 5q² + 3p = 2p + 3p – 3p² + 2q – 5q²
= 5p – 3p² + 2q – 5q²
= –3p² + 5p – 5q² + 2q
e. 6m + 3(m² – n²) – 2m² + 3n² = 6m + 3m² – 3n² – 2m² + 3n²
= 6m + 3m² – 2m² – 3n² + 3n²
= m² + 6m

Contoh Soal :

Tentukan hasil dari:
a. penjumlahan 10x² + 6xy – 12 dan –4x² – 2xy + 10,
b. pengurangan 8p² + 10p + 15 dari 4p² – 10p – 5.

Jawab:

a. 10x² + 6xy – 12 + (–4x² – 2xy + 10) = 10x² – 4x² + 6xy – 2xy – 12 + 10
= 6x² + 4xy – 2
b. (4p² – 10p – 5) – (8p² + 10p + 15) = 4p² – 8p² – 10p –10p – 5 – 15
= –4p² – 20p – 20

2. Perkalian Bentuk Aljabar

Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
Agar kamu memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal :

Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.
a. 2(x + 3) c. 3x(y + 5)
b. –5(9 – y) d. –9p(5p – 2q)

Jawab:

a. 2(x + 3) = 2x + 6 c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x
b. –5(9 – y) = –45 + 5y d. –9p(5p – 2q) = –45p² + 18pq

b. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
Agar kamu memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal :

Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan.
a. (x + 5)(x + 3) c. (2x + 4)(3x + 1)
b. (x – 4)(x + 1) d. (–3x + 2)(x – 5)

Jawab:

a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3
= x² + 5x + 3x + 15
= x² + 8x + 15
b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1
= x² – 4x + x – 4
= x² – 3x – 4
c. (2x + 4)(3x + 1) = (2x + 4)3x + (2x + 4)1
= 6x² + 12x + 2x + 4
= 6x² + 14x + 4
d. (–3x + 2)(x – 5) = (–3x + 2)x + (–3x + 2)(–5)
= –3x² + 2x + 15x – 10
= –3x² + 17x – 10

Contoh Soal :

Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar
(6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.

Jawab:

Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm
Ditanyakan : luas persegipanjang
Luas = p × l
= (5x + 3)(6x – 2)
= (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)
= 30x² + 18x – 10x – 6
= 30x² + 8x – 6
Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x² + 8x – 6) cm²

Amati kembali Contoh Soal. Ternyata perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b) dan (c + d) dapat ditulis sebagai berikut.
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd
= ac + ad + bc + bd
Secara skema, perkalian ditulis:

Cara seperti ini merupakan cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian antara dua buah suku bentuk aljabar. Pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal :

Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema.
a. (x + 1)(x + 2) c. (x – 2)(x + 5)
b. (x + 8)(2x + 4) d. (3x + 4)(x – 8)

Jawab:

a. (x + 1)(x + 2) = x² + 2x + x + 2
= x² + 3x + 2
b. (x + 8)(2x + 4) = 2x² + 4x + 16x + 32
= 2x² + 20x + 32
c. (x – 2)(x + 5) = x² + 5x –2x –10
= x² + 3x – 10
d. (3x + 4)(x –8) = 3x² – 24x + 4x – 32
= 3x² – 20x – 32

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan. Pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal :

Tentukan hasil pembagian berikut.
a. 8x : 4 c. 16a2b : 2ab
b. 15pq : 3p d. (8x2 + 2x) : (2y2 – 2y)
Jawab:

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari definisi bilangan berpangkat. Pada bagian ini materi tersebut akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kamu ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli.

Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

a. a⁵ = a × a × a × a × a
b. (2a)³ = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a³
c. (–3p)⁴ = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)
= ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p⁴
d. (4x²y)² = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x² × x²) × (y × y) = 16x⁴y²

Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)²? Bentuk (a + b)² merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)² dapat ditulis:

(a + b)² = (a + b) (a + b)
= (a + b)a + (a + b)b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²

Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)² juga dapat ditulis sebagai:

(a – b)² = (a – b) (a – b)
= (a – b)a + (a – b)(–b)
= a² – ab – ab + b²
= a² – 2ab + b²

Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)³, sebagai berikut.

(a + b)³ = (a + b) (a + b)²
= (a + b) (a² + 2ab + b²) (a+b)² = a² + 2ab + b²
= a(a² + 2ab + b² ) + b (a² + 2ab + b² ) (menggunakan cara skema)
= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ (suku yang sejenis dikelompokkan)
= a³ + 2a²b + a²b + ab² +2ab² + b³ (operasikan suku-suku yang sejenis)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Untuk menguraikan bentuk aljabar (a + b)², (a + b)³, dan (a + b)⁴, kamu dapat menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar (a + b)⁵, (a + b)⁶, (a + b)⁷, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.

http://www.crayonpedia.org/wiki/images/0/00/Pascal2.jpg

Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)² dapat diuraikan menjadi a² + 2ab + b². Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)² mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a² + 2ab + b². Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a² kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b kemudian b²). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)³, (a + b)⁴, (a + b)⁵, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
dan seterusnya.

Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)ⁿ dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut.

(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
(a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴
(a – b)⁵ = a⁵ – 5a⁴b + 10a³b² – 10a²b³ + 5ab⁴ – b⁵

Geometri Dimensi Tiga

A. Kubus (Hilisaeder)

Kubus adalah suatu benda yang buat oleh enam bidang datar yang masing-masing berbentuk persegi panjang yang sama dan sebangun (kongruen) Keenam bidang kubus disebut bidang batas, bidang sisi, atau sisi kubus.
Rumus Euler

Hubungan sisi, rusuk, dan titik sudut suatu bangun ruang dirumuskan oleh euler dalam bentuk :
S + T = R + 2
Dengan : S = Banyak sisi
T = Banyak titik sudut
R = Banyak rusuk

Contoh :
Suatu bangun ruang dibentuk dari lima sisi dengan enam titik sudutnya, tentukan banyak rusuk bangun ruang itu?
Jawab :
Sisi :S = 5
Titik sudut : T = 6
Berdasrkan rumus euler : S + T = R + 2
5 + 6 = R + 2
11= R + 2
R= 9

Simetri pada Kubus
Bidang simetri kubus adalah bidang yang membagi kubus menjadi dua bagian yang sama besar, dengan bagian yang satu merupakan cermin bagian yang lain. Sumbu simetri putar adalah sumbu yang apabila kibus diputar pada sumbu tersebut maka kubus akan kembali menempati posisinya semula.

Luas Permukaan dan volume kubus:

Bila panjang rusuk kubus adalah a, maka :

Luas Permukaan = 6 x a

Volume = a x a x a

Contoh :
Volume sebuah kubus 27 liter, tentukanlah :
a. Luas Bidang diagonal kubus
b. Luas permukaan kubus



B. Balok (Peralelepipedum siku-siku)

Luas permukaan dan Volume Balok
Jika balok dengan ukuran panjang = p, lebar = l, dan tinggi = t, maka :
• Volume balok = p x l.x t
• Luas permukaan balok = 2(pl + pt + lt)
• Luas balok tanpa tutup = p + 2( t + pt)



C. Prisma
Prisma adalah suatu benda yang dibatasi oleh dua buah bidang yang yang sejajar dan oleh beberapa bidang yang memotong menurut garis-garis sejajar.
Sifat-sifat prisma Tegak :
o Semua bidang sisi tegaknya berbentuk persegi panjang
o Bidang alas dan bidang atasnya adalah sama dan sebangun
o Panjang semua rusuk tegaknya adalah sama
o Banyak diagonal ruang yang terdapat dalam prisma segi-n adalah buah.
o Semua bidang diagonal berbentuk jajaran genjang
o Banyak bidang diagonal yang terdapat dalam prisma segi-n adalah buah.
o Prisma segi-n mempunyai (n + 2) sisi
o Prisma segi-n mempunyai (3n) rusuk.

Contoh :
Diketahui suatu prisma tegak dengan alas segi enam dan tidak beraturan titik-titik :
a. Banyak diagonal ruangnya
b. Banyak bidang diagonalnya
c. Bangun/bentuk bidang diagonalnya
d. Banyak sisi
e. Banyak rusuk



D. Limas
Limas adalah suatu benda yang dibatasi oleh suatu segi dan beberapa segitiga dengan suatu titik diluar segi banyak sebagai titik sudut puncak persekutuan dan sisi-sisi segi banyak rusuk alas limas. Luas segi-n mempunyai n sisi tegak, 1 sisi alas dan 2n sisi tegak.
Luas Permukaan dan Volume Limas
Luas permukaan limas = Luas alas + Luas selimut
Volume Limas = Luas alas x tinggi


Contoh :
Bila tinggi limas 12 cm dan panjang rusuk alasnya 10 cm. seperti pada gambar, ditanya :
a. Luas permukaan Limas
b. Volume Limas

E. Tabung, Kerucut dan Bola
Tabung merupakan prisma tegak yang alasnya berupa lingkaran
Kerucut merupakan limas yang alasnya berbentuk lingkaran
Bola merupakan bangunan ruangan tiap titik pada permukaannya, mempunyai jarak yang sama terhadap titik pusatnya.

Contoh :
1. Diketahui sebuah tabung dengan jari-jari alasnya 10 cm dan tingginya 25 cm. tentukan luas permukaan tabung dan volumenya?
2. Hitunglah berat kawat (dalam kg) yang panjangnya 1 km dan jari-jari penampangnya 1,4 mm. apabila 1cm kawat beratnya 8,5 gram?

MELUKIS BANGUN RUANG.
Proyeksi
Proyeksi merupakan cara untuk melukis suatu bangun datar (dua dimensi) atau bangun ruang (tiga dimensi) pada bidang datar dengan cara menjatuhkan setiap titik pada bangun atau bentuk kebidang proyeksi.

Kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang.
Pengertian dasar unsur-unsur dalam Ruang
- Titik
Titik tidak mempunyai ukuran dan sering disebut benda berdimensi nol
- Garis (garis lurus)
Sebuah garis panjang tak hingga, karena itu gambar sebuah garis biasanya dilukiskan dengan wakil dari garis itu.
- Bidang
Bidang yang dimaksud disini adalah bidang datar dan dapat dijumpai sebagai permukaan atau sisi dari benda luar.

Jarak Dalam Ruang
Jarak adalah panjang garis hubung terpendek antara dua unsure ruang, yaitu titik, garis, dan bidang.
- Jarak antar dua buah titik
Adalah panjang garis yang menghubungkan ke dua titik itu.
- Jarak titik ke bidang
Proyeksi sebuah titik kebidang adalah titik potong garis yang melalui titiktersebut dengan bidang dimana garis itu tegak lurus terhadap bidangnya. Jarak titik terhadap bidang sama dengan panjang garis yang menghubungkan titik dengan proyeksi pada bidang.

Sudut Dalam Ruang
- Sudut antara dua bidang
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis, masing-masing satupada setiap bidang, dimana kedua garis tersebut tegak lurus pada garis potong ke dua bidang dan berpotongan pada satu titik digaris potong ke dua bidang tersebut, sudut ini disebut tumpuan.
- Sudut antar garis dan Bidang
Sudut antar garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis pada bidang.
- Garis tegak lurus bidang
Jika sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang sama dengan 90 maka garis tersebut dikatakan tegak lurus bidang.

Soal - soal

1. Jika volume kubus 27 cm , panjang diagonalnya sisi kubus adalah …

2. Perhatikan gambar kubus ABCD, EFGH dibawah. Titik p merupakan titik potong diagonal bidang atas, jarak antara titik B dengan titik P adalah…

3. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 4 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 3 cm, jarak antara BE dengan bidang CDHG adalah….

4. Hitunglah jari-jari bola yang mempunyai luas permukaan 6,6 cm .

5. Hitunglah luas permukaansebuah bola yang bervolume 36 cm .

6. Belahan bola padat mempunyai diameter 20 cm. hitunglah luas permukaan belahan bola padat tersebut.

7. Sebuah lilin lunak berbentuk limas mempunyai volume 792 cm . apabila lilin tersebut dirubah bentuknya menjadi sebuah kerucut dengan tinggi 21 cm. hitunglah jari-jari alas kerucut tersebut

8. Sebuah balok yang kerangkanya terbuat dari kawat, berukuran 25 cm x 10 cm x 7 cm. berapakah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka balok itu?

9. Volume sebuah kubus 27 liter, tentukan :
a. Luas Bidang kubus
b. Luas permukaan Kubus

10. Suatu bangun ruang dibentuk dari limas sisi dengan enam titik sudutnya. Tentukan banyak rusuk bangun ruang itu.